오늘의 문제

(1) \[ \int_{0}^{\pi/2} {\sin x \over {\sin x +\cos x}} dx \]
(2) \[ \int_{0}^{\pi/2} {\cos x \over {\sin x +\cos x}} dx \]

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(1)
\[\begin{equation}\begin{split}&=\int_{0}^{\pi \over 2}{\sin x\cos x-\sin^2 x\over {\cos^2 x-\sin^2 x }}dx
={1 \over 2}\int_{0}^{\pi \over 2}{\sin 2x-(1-\cos 2x) \over {\cos 2x}}dx\\
&={1 \over 2}\int_{0}^{\pi \over 2}{\left(\tan 2x-\sec 2x +1\right)}dx\\
&={1 \over 2}
\left[
      {1\over 2} \left( -\ln |cos 2x| \right)+{1\over 2} \ln |\sec x+\tan x|+ x
\right] _{0}^{\pi \over 2}
={\pi \over 4}
\end{split}\end{equation}
\]

(2) 그만 낚이고 아래를 보자:

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계산을 굳이 안 하고 아는 방법이 있는데,
(1)+(2)=\(\int_{0}^{\pi/2}{1}dx={\pi\over 2}\)이고 분자 부분의 \(\sin x\)와 \(\cos x\)의 모양이 같으므로(대칭)....(단조증가/감소 적분 구간 등을 적절히 따져 준다 치자. 어차피 따지고 들면 저 적분값이 존재하느냐로 태클 걸 수도 있을 듯!? 문제가 굳이 (1), (2) 같이 주어진 게 함정...)
(1), (2) 반씩 나눠서 각각 \(\pi/4\)이다.