csc x 적분 integral cosecant

적분표(integral table)를 보면

\(\int \! \csc x\, \mathrm {d} x = -\ln | \csc x + \cot x | + C\)로 나오는데,

csc, cot를 피하려고 sin, cos 등으로 고치다 보면 답이 잘 안 나온다.
즉,

\(
\begin{equation}
\begin{split}
\int \! \csc x\, \mathrm {d} x &=\int \! { 1 \over \sin x } \mathrm {d} x
=\int \! { \sin x \over \sin^2 x } \mathrm {d} x
=\int \! { \sin x \over 1-\cos^2 x } \mathrm {d} x \\
&=\int \! { \mathrm {d} u \over u^2 - 1 } \cdots\cdots\cdots (u=\cos x, \mathrm {d} u = -\sin x \mathrm{d} x) \\
&={1 \over 2} \int \! \left( {1 \over u-1} - {1 \over u+1} \right) \mathrm {d} u
={1 \over 2} \ln \left| { 1 - \cos x \over 1 + \cos x }\right|
={1 \over 2} \ln \left( \tan^2 {x \over 2} \right)
\cdots ( \tan^2 {x \over 2} = {1 - \cos x \over 1 + \cos x} ) \\
&=\ln \left| \tan {x \over 2} \right|
\end{split}
\end{equation}
\)

적분표에 있는 것보다 더 간단한 공식이 나왔는데(사실 이것도 적분표에 있는 것이지만)

\(u=\csc x + \cot x\) 또는,
\(u=\csc x - \cot x\)를 분모, 분자에 곱한 후 치환적분하면 된다.
\(u=\csc x + \cot x\), \(u=\csc x - \cot x\) 모두 아래 그림(링크)과 같이 (불연속인 점을 제외하면) 단조증가하거나 단조감소한다.
plot: csc(x)-cot(x)
plot: csc(x)+cot(x)
위에걸 쓰면 \(\ln\|\csc x - \cot x \|\)
아래 걸 쓰면 \(-\ln\|\csc x + \cot x\|\)

답이 여러 가지가 되는 것 같지만 단조증가/감소하는 구간에 맞게 잘 선택해서 써야 할 듯.