코막고 만두실신 (고교)

신프신은 두신코...(A)
신마신은 두코신...(B)
코프코는 두코코...(C)
코마코는 마두신신...(D)

갑자기 마두신신이라는 단어가 떠올라 올려 본다. 나는 저걸 외운 적이 없는데, 시험에 나올 때마다 유도해서 풀었기 때문에...;

요새는 마지막 문장은 코막고 만두실신이라고 외우기도 한다고(...)

실신하는 김에 sin+sin=2syncope/씽커피/...(A)

무엇보다 암기법이 별로 의미 없는 이유는, 좌변과 우변의 각이 다르고(A, B 대 \({A+B}\over{2}\), \(\frac{A-B}{2}\) 그나마 암기법으로 기억해 낸 공식이 중간 단계 정도라서 바로 적용할 수 있는 경우는 별로 없기 때문이었던 거 같다.

삼각함수 공식은 어떻게 외워도 거지 같다.

유용한 '감'은 sin은 sin/cos이 교차되는 꼴로 나타나고, cos은 cos/cos 또는 sin/sin 꼴로 나타난다는 것 정도.

유도를 하려면 덧셈정리 (1), (2) 딱 두개만 외우면 된다.
\(\sin\left( A+B \right) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\cdots\cdots\left(1\right)\)
\(\cos\left( A+B \right) = \cos A \cos B - \sin A \sin B\cdots\cdots\left(2\right)\)
\(\sin\left( A-B \right) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\cdots\cdots\left(3\right)\)
\( \cos \left( A - B \right) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \cdots \cdots \left( 4 \right) \)
B 대신 -B를 대입해서 (1)에서 (3)을 얻고, (2)에서 (4)를 얻는다.

그리고 이 네 식을 적절히 더하고 빼서 다음을 얻는다.
\( \sin \left( A + B \right) + \sin \left( A - B \right) = 2 \sin A \cos B \cdots \cdots \left( 5 \right) = (1) + (3) \)
\( \sin \left( A + B \right) - \sin \left( A - B \right) = 2 \cos A \sin B \cdots \cdots \left( 6 \right) = (1) - (3) \)
\( \cos \left( A + B \right) + \cos \left( A - B \right) = 2 \cos A \cos B \cdots \cdots \left( 7 \right) = (2) + (4) \)
\( \cos \left( A + B \right) - \cos \left( A - B \right) = -2 \sin A \sin B \cdots \cdots \left( 8 \right) = (2) - (4) \)
이것이 마두신신의 정체다(...)
애초에 이 공식(5, 6, 7, 8)을 만든 이유는 삼각함수의 곱을 합으로, 합을 곱으로 전환하는 데 있기 때문에, (1) ~ (4)를 더하고 빼는 모든 조합이 필요하지 않다.
곱을 합으로 만드는 목적에 충실하기 위해서는 양변을 2로 나눠야 할 텐데, 그러면 (5) 같은 경우
\( { 1\over 2 } \left( \sin \left( A + B \right) \right) + \sin \left( A - B \right) = \sin A \cos B \)
와 같은 모양이 될 것이다. 나머지는 알아서...

이제 (5)~(8)의 역방향의(!) 공식을 유도해 보자.
\( \alpha = A+B, \beta = A-B \)
이 치환 아이디어는 (1)~(4)에서 (5)~(8)을 얻어낸 것과 본질적으로 같기 때문에 생각해내기가 어렵지는 않을 것 같다(함수를 우함수와 기함수로 분리할 때도 비슷한 트릭이 쓰인다.).

\( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin {{\alpha + \beta}\over 2} \cos {{\alpha -\beta} \over 2} \cdots \cdots \left( 9 \right) \)
\( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos {{\alpha + \beta}\over 2} \sin {{\alpha -\beta} \over 2} \cdots \cdots \left( 10 \right) \)
\( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos {{\alpha + \beta}\over 2} \cos {{\alpha -\beta} \over 2} \cdots \cdots \left( 11 \right) \)
\( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin {{\alpha + \beta}\over 2} \sin {{\alpha -\beta} \over 2} \cdots \cdots \left( 12 \right) \)

이걸 잘 쓰면 적분하기 어려운 꼴이 치환적분이나 부분적분이 가능하게 되는 신기한 경험을 할 수 있다.

쓰는 김에 좀 더 보충하면,

---

(배각 공식)
\( \sin 2x = 2\sin x \cos x \cdots \cdots\cdots \cdots\cdots \cdots\cdots \cdots\cdots \cdots\cdots \cdots (13):\) (1)에서 \(A=B=x \)
\( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2x =1-2\sin^2x = 2\cos^2x -1 \cdots \cdots (14):\) (2)에서 \(A=B=x\) 그리고 \(\sin^2x + \cos^2x=1\)
\( \begin{equation} \begin{split}
\tan 2x &= {\sin 2x \over \cos 2x} = {2\sin x \cos x \over \cos^2 x - sin^2 x}
={2\sin x \over \cos x - \sin x \tan x }  \\
&= {2\tan x \over 1- \tan^2 x}  \cdots \cdots (15) \\
&= {1 \over 1-\tan x} - {1 \over 1+ \tan x}
\end{split} \end{equation}\)

---

(15)까지가 tan의 배각공식이고 그 밑엣줄은 그냥 써 봤다(...)
사실 좀 더 일반적인 형태인 tan의 덧셈정리에다가 그냥 A=B를 대입해도 된다.

\(\cos 2x\)는 cos에 대한 식으로도, sin에 대한 식으로도 변형할 수가 있는데,
아래 3배각 공식은 sin은 sin에 대한 식으로, cos은 cos에 대한 식으로 정리한 것이다.

---

(3배각 공식)
\( \begin{equation} \begin{split}
\sin 3x&=\sin\left(x+2x\right)=\sin x \cos 2x + \sin 2x \cos x \\
&=\sin x-2\sin^3x+2\sin x(1-\sin^2x) \\
&=3\sin x - 4\sin^3x \cdots\cdots\cdots (16)
\end{split}
\end{equation}
\)
\(
\begin{equation}
\begin{split}
\cos 3x&=\cos\left(2x+x\right)=\cos 2x \cos x -\sin 2x \sin x \\
&= (2\cos^2x-1)\cos x-2\sin^2 x \cos x = 2\cos^3 x - \cos x -2\cos x + 2\cos^3 x\\
&= 4\cos^3 x - 3\cos x \cdots\cdots (17)
\end{split}
\end{equation}
\)

(반각 공식): 배각 공식의 역이 아니라, cos에 대한 배각공식에서 나온다.
\(\sin^2 {x \over 2} = {1-\cos x \over 2}\cdots\cdots (18))\)
\(\cos^2 {x \over 2} = {1+\cos x \over 2}\cdots\cdots (19)\)
\(\tan^2 {x \over 2} = {1-\cos x \over 1+\cos x} \cdots\cdots (20)=(18)/(19)\) 다음 포스트(csc 적분)에 등장한다.

---

3배각 공식에서 \(F(x)=\sin x, G(x)=\cos x\)라 하면
\(F(3x)=3F(x)-4{F(x)}^3, G(3x)=4{G(x)}^3-3G(x)\)
\(y=e^{ax}\)꼴이면 뭔가 쓸모 있어 보이지 않는지...?